Stevenson három egymást követő olimpián, 1972-ben Münchenben, 1976-ban Montrealban és 1980-ban Moszkvában szerzett nehézsúlyban aranyérmet. Rajta kívül csak Papp Lászlónak és az ugyancsak kubai Felix Savonnak sikerült három olimpiai aranyat szereznie. Stevensonnak jó esélye lett volna 1984-ben is a győzelemre – néhány hónappal az olimpia előtt megverte Tyrell Biggst, aki aztán Los Angeles bajnoka lett –, ám Kuba a szocialista országokkal együtt bojkottálta a játékokat. A három világbajnoki győzelmét 1974-ben Havannában, 1978-ban Belgrádban és 1986-ban az egyesült államokbeli Renóban szerezte. (1982-ben, a müncheni amatőr világbajnokságon kikapott az olasz Francesco Damianitól. Az olimpiákon veretlen maradt, a vb-ken ez volt az egyetlen veresége.) Aktív ökölvívói karrierjét 1988-ban fejezte be, miután Kuba újra távol maradt a szöuli nyári játékoktól. Két évtizedes pályafutása során vívott 321 mérkőzéséből 301-et megnyert. 1988-tól edzőként tevékenykedett, majd a Kubai Ökölvívó Szövetség alelnöke volt.

Fidel Castro Kubájának elkötelezett híve volt. Életrajzírói rendre megemlékeztek arról, hogy 1976-os, montreali győzelme után amerikai menedzserek hiába ajánlottak fel – állítólag – ötmillió dollárt, hogy profi bokszolónak állva megküzdjön a nehézsúly királyával, Muhammad Alival. „Nem cserélném fel Kuba földjét, bármennyi pénzt is kínálnak” – mondta, kitartva a profizmust tiltó kubai forradalom mellett. 

Ali és Stevenson. Csak a ringen kívül találkoztak