1934. november 15-én született a Békés megyei Bucsán. Kiskunfélegyházán járt testnevelési gimnáziumba és középiskolai tanára biztatására kezdett versmondással foglalkozni. Érettségi vizsgáját követően egyszerre három intézménybe is felvételt nyert: a testnevelési főiskola, a soproni erdőmérnöki kar és a színművészeti főiskola közül az utóbbit választotta, bár saját bevallása szerint korábban színházi előadást sem látott.

A Színművészeti Főiskolát 1958-ban végezte el, osztálytársa volt Törőcsik Mari, Bodrogi Gyula, Madaras József, Margitai Ági. Első sikerét József Attila Hazám című versének elszavalásával még főiskolásként aratta tanára, Básti Lajos és osztálytársai előtt. 1958-ban a Békés megyei Jókai Színházhoz szerződött. 1960 és 1963 között az egri Gárdonyi Géza Színházban, a veszprémi Petőfi Színházban és a szolnoki Szigligeti Színházban is játszott. 1963-ban Lengyel György hívására a debreceni Csokonai Színházba szerződött, a rendező először G.B. Shaw Szent Johanna című darabjában instruálta. Az intézménynek több mint öt évtizede volt tagja, a várost és a társulatot a budapesti Nemzeti Színházért sem volt hajlandó elhagyni.

Kóti Árpád első komoly sikerét a Kapaszkodj Malvin, jön a kanyar című színdarabban a magyar hősi halott katona megformálásával aratta. Elsősorban drámai karakterszerepek alakítója, a legszebben, legtermészetesebben beszélő magyar színészek egyike. Szerepei közül kiemelkedik Csehov Ványa bácsija, Hamvai Kornél Márton partjelző fázik, Marin Drzic Dundo Maroje, valamint Tóth-Máthé Miklós Én, Károli Gáspár című darabjának címszerepe. Shakespeare Lear királyában először Edmund, majd Gloster szerepe találta meg, 75 évesen eljátszotta a címszerepet is.

Nagy sikert aratott Háy János Gézagyerek című darabjának Herda Pityujaként is. Filmen is játszott, többek közt a Tűzoltó utca 25. és a Ponyvapotting című alkotásokban.

Művészetének elismeréseként megkapta a Jászai Mari-díjat (1978), az érdemes művészi (1985) és a kiváló művészi címet (2001). 1990-ben Aase-díjjal tüntették ki, 2002-ben megkapta a Pécsi Országos Színházi Találkozó (POSZT) díját. Két alkalommal kapott Csokonai-díjat, 2005-ben pedig Debrecen Kultúrájáért díjjal ismerték el művészeti tevékenységét. 2014-ben, Kossuth-díját átvéve így fogalmazott: "a színészet a legnehezebb pálya. Ugyanakkor játék, amelybe nem kell belehalni".
Kóti Árpádot tavaly decemberben választották a nemzet színészének.

Halálával a Csokonai Nemzeti Színházat és a magyar színjátszást is pótolhatatlan veszteség érte - fogalmazott közleményében a színház.

Kóti Árpáddal Kácsor Zsolt készített interjút, mikor a nemzet színészévé választották.