Az 1926-ban született Külkey a Zeneakadémián Maleczky Oszkár és Sipos Jenő tanítványa volt, ezzel párhuzamosan a Pázmány Péter Tudományegyetemen jogi diplomát is szerzett. Az Operaházban 1946-ban debütált, első alakítása az Ifjú hajós szerepe volt Wagner Trisztán és Izolda című operájában.

Az énekes pályája során számos európai országban, de az Egyesült Államokban és Kanadában is vendégszerepelt. Több mint öt tucat szerepet játszott el a világ operaszínpadain, ezek között lírai tenor és comprimaro szerepeket csakúgy találunk, mint karakteralakításokat. Erkel Hunyadi Lászlójában a címszerepet, V. Lászlót játszotta, de volt Ottó a Bánk bánban, a Bolond Muszorgszkij Borisz Godunovjában, Almaviva A sevillai borbélyban és Walther alakját is színpadra vitte Wagner Tannhäuserében.

Külkey Lászlót saját halottjának tekint a Budapesti Operabarát Alapítvány és a Budapesti Operabarátok Egyesülete, valamint a Magyar Állami Operaház is. Temetéséről később intézkednek.