A kassai származású és magyarul is jól beszélő Kvasnák a hatvanas években, a prágai Sparta színeiben vált a közönség kedvencévé. Saját nyilatkozatai szerint nemcsak azért lépett pályára egy-egy mérkőzősen, hogy jól játsszon, s csapatát győzelemre segítse, hanem azért is, hogy szórakoztassa a közönséget. A leghíresebb cseh együttes, a Sparta Praha szurkolói szerint klubban ő volt a 20. század legnagyobb egyénisége. Miután Kvasnák "kiöregedett" és a hetvenes évek elején volt szocialista rendszer Belgiumba engedte játszani, a Sparta mérkőzéseit észrevehetően jóval kevesebben látogatták.

A kitűnő technikával rendelkező és nagyszerűen cselező Kvasnák 47-szer szerepelt a csehszlovák válogatottban és 13 gólt szerzett. A magyarok körében talán a legismertebb találatát a hatvanas évek végén a Marseille-ben lejátszott magyar-csehszlovák labdarúgó világbajnoki selejtezőn rúgta tizenegyesből. A sorsdöntő meccset a csehszlovákok nyerték 4-1 arányban, s ennek következtében ők szerepelhettek az 1970-es mexikói labdarúgó világbajnokságon. Kvasnák tagja volt annak a csehszlovák válogatottnak is, amely 1962-ben Chilében meglepetésre ezüstérmet szerzett a világbajnokságon. A negyeddöntőben a csehszlovákok 1-0-ra a magyarokat is legyőzték. (MTI)